线性代数示例

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}]$

解题步骤 1

建立公式以求特征方程 $p (λ)$ 。

$p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$

解题步骤 2

大小为 $3$ 的单位矩阵，是主对角线为 1 而其余元素皆为 0 的 $3 \times 3$ 方阵。

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

解题步骤 3

将已知值代入 $p (λ) = 行列式 (A - λ I_{3})$ 。

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解题步骤 3.1

代入 $[\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}]$ 替换 $A$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] - λ I_{3})$

解题步骤 3.2

代入 $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ 替换 $I_{3}$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

将 $- λ$ 乘以矩阵中的每一个元素。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2

化简矩阵中的每一个元素。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.2

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.2.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.2.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.3

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.3.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.3.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.4

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.4.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.4.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.6

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.6.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.6.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.7

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.7.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.7.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.8

乘以 $- λ \cdot 0$ 。

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解题步骤 4.1.2.8.1

将 $0$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.8.2

将 $0$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

解题步骤 4.1.2.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 行列式 ([\begin{array}{c} 1 & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

解题步骤 4.2

加上相应元素。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & - 1 + 0 & - 2 + 0 \\ 1 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3

Simplify each element.

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解题步骤 4.3.1

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & - 2 + 0 \\ 1 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.2

将 $- 2$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & - 2 \\ 1 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 - λ & 2 + 0 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.4

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 - λ & 2 \\ 1 + 0 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 - λ & 2 \\ 1 & - 1 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 4.3.6

将 $- 1$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = 行列式 [\begin{array}{c} 1 - λ & - 1 & - 2 \\ 1 & 3 - λ & 2 \\ 1 & - 1 & 2 - λ \end{array}]$

解题步骤 5

Find the determinant.

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解题步骤 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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解题步骤 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

解题步骤 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

解题步骤 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$

解题步骤 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2

计算 $| \begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ - 1 & 2 - λ \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.2.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = (1 - λ) ((3 - λ) (2 - λ) - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.2

化简行列式。

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解题步骤 5.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(3 - λ) (2 - λ)$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.1.1

运用分配律。

$p (λ) = (1 - λ) (3 (2 - λ) - λ (2 - λ) - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.2.1.1.2

运用分配律。

$p (λ) = (1 - λ) (3 \cdot 2 + 3 (- λ) - λ (2 - λ) - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.2.1.1.3

运用分配律。

$p (λ) = (1 - λ) (3 \cdot 2 + 3 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.1.2.1.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (6 + 3 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.2.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (6 - 3 λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.2.1.2.1.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (6 - 3 λ - 2 λ - λ (- λ) - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = (1 - λ) (6 - 3 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.2.1.2.1.5

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.2.1.5.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (6 - 3 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.2.1.2.1.5.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (6 - 3 λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.2.1.2.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (6 - 3 λ - 2 λ + 1 λ^{2} - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.2.1.2.1.7

将 $λ^{2}$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (6 - 3 λ - 2 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.2.1.2.2

从 $- 3 λ$ 中减去 $2 λ$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (6 - 5 λ + λ^{2} - (- 1 \cdot 2)) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.2.1.3

乘以 $- (- 1 \cdot 2)$ 。

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解题步骤 5.2.2.1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (6 - 5 λ + λ^{2} - - 2) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.2.1.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (6 - 5 λ + λ^{2} + 2) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.2.2

将 $6$ 和 $2$ 相加。

$p (λ) = (1 - λ) (- 5 λ + λ^{2} + 8) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 5.2.2.3

将 $- 5 λ$ 和 $λ^{2}$ 重新排序。

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 5.3

计算 $| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 1 & 2 - λ \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.3.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (1 (2 - λ) - 1 \cdot 2) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 5.3.2

化简行列式。

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解题步骤 5.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.2.1.1

将 $2 - λ$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (2 - λ - 1 \cdot 2) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 5.3.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (2 - λ - 2) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 5.3.2.2

合并 $2 - λ - 2$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.2.2.1

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (- λ + 0) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 5.3.2.2.2

将 $- λ$ 和 $0$ 相加。

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (- λ) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$

解题步骤 5.4

计算 $| \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ 1 & - 1 \end{array} |$ 。

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解题步骤 5.4.1

可以使用公式 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 求 $2 \times 2$ 矩阵的行列式。

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (- λ) - 2 (1 \cdot - 1 - (3 - λ))$

解题步骤 5.4.2

化简行列式。

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解题步骤 5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (- λ) - 2 (- 1 - (3 - λ))$

解题步骤 5.4.2.1.2

运用分配律。

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (- λ) - 2 (- 1 - 1 \cdot 3 - - λ)$

解题步骤 5.4.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (- λ) - 2 (- 1 - 3 - - λ)$

解题步骤 5.4.2.1.4

乘以 $- - λ$ 。

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解题步骤 5.4.2.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (- λ) - 2 (- 1 - 3 + 1 λ)$

解题步骤 5.4.2.1.4.2

将 $λ$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (- λ) - 2 (- 1 - 3 + λ)$

解题步骤 5.4.2.2

从 $- 1$ 中减去 $3$ 。

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (- λ) - 2 (- 4 + λ)$

解题步骤 5.4.2.3

将 $- 4$ 和 $λ$ 重新排序。

$p (λ) = (1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8) + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

解题步骤 5.5

化简行列式。

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解题步骤 5.5.1

化简每一项。

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解题步骤 5.5.1.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(1 - λ) (λ^{2} - 5 λ + 8)$ 。

$p (λ) = 1 λ^{2} + 1 (- 5 λ) + 1 \cdot 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

解题步骤 5.5.1.2

化简每一项。

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解题步骤 5.5.1.2.1

将 $λ^{2}$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = λ^{2} + 1 (- 5 λ) + 1 \cdot 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

解题步骤 5.5.1.2.2

将 $- 5 λ$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 1 \cdot 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

解题步骤 5.5.1.2.3

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 8 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

解题步骤 5.5.1.2.4

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ^{2}$ 。

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解题步骤 5.5.1.2.4.1

移动 $λ^{2}$ 。

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 8 - (λ^{2} λ) - λ (- 5 λ) - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

解题步骤 5.5.1.2.4.2

将 $λ^{2}$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 5.5.1.2.4.2.1

对 $λ$ 进行 $1$ 次方运算。

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 8 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 5 λ) - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

解题步骤 5.5.1.2.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 8 - λ^{2 + 1} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

解题步骤 5.5.1.2.4.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 8 - λ^{3} - λ (- 5 λ) - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

解题步骤 5.5.1.2.5

使用乘法的交换性质重写。

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 5 λ \cdot λ - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

解题步骤 5.5.1.2.6

通过指数相加将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

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解题步骤 5.5.1.2.6.1

移动 $λ$ 。

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 5 (λ \cdot λ) - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

解题步骤 5.5.1.2.6.2

将 $λ$ 乘以 $λ$ 。

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 8 - λ^{3} - 1 \cdot - 5 λ^{2} - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

解题步骤 5.5.1.2.7

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 8 - λ^{3} + 5 λ^{2} - λ \cdot 8 + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

解题步骤 5.5.1.2.8

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 8 - λ^{3} + 5 λ^{2} - 8 λ + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

解题步骤 5.5.1.3

将 $λ^{2}$ 和 $5 λ^{2}$ 相加。

$p (λ) = 6 λ^{2} - 5 λ + 8 - λ^{3} - 8 λ + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

解题步骤 5.5.1.4

从 $- 5 λ$ 中减去 $8 λ$ 。

$p (λ) = 6 λ^{2} - 13 λ + 8 - λ^{3} + 1 (- λ) - 2 (λ - 4)$

解题步骤 5.5.1.5

将 $- λ$ 乘以 $1$ 。

$p (λ) = 6 λ^{2} - 13 λ + 8 - λ^{3} - λ - 2 (λ - 4)$

解题步骤 5.5.1.6

运用分配律。

$p (λ) = 6 λ^{2} - 13 λ + 8 - λ^{3} - λ - 2 λ - 2 \cdot - 4$

解题步骤 5.5.1.7

将 $- 2$ 乘以 $- 4$ 。

$p (λ) = 6 λ^{2} - 13 λ + 8 - λ^{3} - λ - 2 λ + 8$

解题步骤 5.5.2

从 $- 13 λ$ 中减去 $λ$ 。

$p (λ) = 6 λ^{2} - 14 λ + 8 - λ^{3} - 2 λ + 8$

解题步骤 5.5.3

从 $- 14 λ$ 中减去 $2 λ$ 。

$p (λ) = 6 λ^{2} - 16 λ + 8 - λ^{3} + 8$

解题步骤 5.5.4

将 $8$ 和 $8$ 相加。

$p (λ) = 6 λ^{2} - 16 λ - λ^{3} + 16$

解题步骤 5.5.5

移动 $- 16 λ$ 。

$p (λ) = 6 λ^{2} - λ^{3} - 16 λ + 16$

解题步骤 5.5.6

将 $6 λ^{2}$ 和 $- λ^{3}$ 重新排序。

$p (λ) = - λ^{3} + 6 λ^{2} - 16 λ + 16$

解题步骤 6

使特征多项式等于 $0$ ，以求特征值 $λ$ 。

$- λ^{3} + 6 λ^{2} - 16 λ + 16 = 0$

解题步骤 7

求解 $λ$ 。

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解题步骤 7.1

使用有理根检验法因式分解 $- λ^{3} + 6 λ^{2} - 16 λ + 16$ 。

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解题步骤 7.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

解题步骤 7.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

解题步骤 7.1.3

代入 $2$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $2$ 是多项式的根。

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解题步骤 7.1.3.1

将 $2$ 代入多项式。

$- 2^{3} + 6 \cdot 2^{2} - 16 \cdot 2 + 16$

解题步骤 7.1.3.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 1 \cdot 8 + 6 \cdot 2^{2} - 16 \cdot 2 + 16$

解题步骤 7.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$- 8 + 6 \cdot 2^{2} - 16 \cdot 2 + 16$

解题步骤 7.1.3.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 8 + 6 \cdot 4 - 16 \cdot 2 + 16$

解题步骤 7.1.3.5

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$- 8 + 24 - 16 \cdot 2 + 16$

解题步骤 7.1.3.6

将 $- 8$ 和 $24$ 相加。

$16 - 16 \cdot 2 + 16$

解题步骤 7.1.3.7

将 $- 16$ 乘以 $2$ 。

$16 - 32 + 16$

解题步骤 7.1.3.8

从 $16$ 中减去 $32$ 。

$- 16 + 16$

解题步骤 7.1.3.9

将 $- 16$ 和 $16$ 相加。

$0$

解题步骤 7.1.4

因为 $2$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $λ - 2$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{- λ^{3} + 6 λ^{2} - 16 λ + 16}{λ - 2}$

解题步骤 7.1.5

用 $- λ^{3} + 6 λ^{2} - 16 λ + 16$ 除以 $λ - 2$ 。

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解题步骤 7.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$λ$

$2$

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$16 λ$

$16$

解题步骤 7.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $- λ^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $λ$ 。

				-	$λ^{2}$
	$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$

解题步骤 7.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$

解题步骤 7.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- λ^{3} + 2 λ^{2}$ 中的所有符号

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$

解题步骤 7.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$

解题步骤 7.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$λ^{2}$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$16 λ$

解题步骤 7.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $4 λ^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $λ$ 。

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$16 λ$

解题步骤 7.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$16 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$

解题步骤 7.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $4 λ^{2} - 8 λ$ 中的所有符号

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$16 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$8 λ$

解题步骤 7.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$16 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$8 λ$

解题步骤 7.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$16 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$8 λ$	+	$16$

解题步骤 7.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 8 λ$ 除以除数中的最高阶项 $λ$ 。

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$	-	$8$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$16 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$8 λ$	+	$16$

解题步骤 7.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$	-	$8$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$16 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$8 λ$	+	$16$
							-	$8 λ$	+	$16$

解题步骤 7.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 8 λ + 16$ 中的所有符号

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$	-	$8$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$16 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$8 λ$	+	$16$
							+	$8 λ$	-	$16$

解题步骤 7.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$λ^{2}$	+	$4 λ$	-	$8$
$λ$	-	$2$	-	$λ^{3}$	+	$6 λ^{2}$	-	$16 λ$	+	$16$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$
					+	$4 λ^{2}$	-	$16 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$8 λ$
							-	$8 λ$	+	$16$
							+	$8 λ$	-	$16$
										$0$

解题步骤 7.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$- λ^{2} + 4 λ - 8$

解题步骤 7.1.6

将 $- λ^{3} + 6 λ^{2} - 16 λ + 16$ 书写为因数的集合。

$(λ - 2) (- λ^{2} + 4 λ - 8) = 0$

解题步骤 7.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$λ - 2 = 0$

$- λ^{2} + 4 λ - 8 = 0$

解题步骤 7.3

将 $λ - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $λ$ 。

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解题步骤 7.3.1

将 $λ - 2$ 设为等于 $0$ 。

$λ - 2 = 0$

解题步骤 7.3.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$λ = 2$

解题步骤 7.4

将 $- λ^{2} + 4 λ - 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $λ$ 。

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解题步骤 7.4.1

将 $- λ^{2} + 4 λ - 8$ 设为等于 $0$ 。

$- λ^{2} + 4 λ - 8 = 0$

解题步骤 7.4.2

求解 $λ$ 的 $- λ^{2} + 4 λ - 8 = 0$ 。

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解题步骤 7.4.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 7.4.2.2

将 $a = - 1$ 、 $b = 4$ 和 $c = - 8$ 的值代入二次公式中并求解 $λ$ 。

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 8)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 7.4.2.3

化简。

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解题步骤 7.4.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 7.4.2.3.1.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 7.4.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 1 \cdot - 8$ 。

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解题步骤 7.4.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4 \cdot - 8}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 7.4.2.3.1.2.2

将 $4$ 乘以 $- 8$ 。

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 7.4.2.3.1.3

从 $16$ 中减去 $32$ 。

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 7.4.2.3.1.4

将 $- 16$ 重写为 $- 1 (16)$ 。

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 7.4.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (16)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ 。

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 7.4.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$λ = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 7.4.2.3.1.7

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$λ = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 7.4.2.3.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$λ = \frac{- 4 \pm i \cdot 4}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 7.4.2.3.1.9

将 $4$ 移到 $i$ 的左侧。

$λ = \frac{- 4 \pm 4 i}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 7.4.2.3.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$λ = \frac{- 4 \pm 4 i}{- 2}$

解题步骤 7.4.2.3.3

化简 $\frac{- 4 \pm 4 i}{- 2}$ 。

$λ = 2 \pm 2 i$

解题步骤 7.4.2.4

最终答案为两个解的组合。

$λ = 2 + 2 i, 2 - 2 i$

解题步骤 7.5

最终解为使 $(λ - 2) (- λ^{2} + 4 λ - 8) = 0$ 成立的所有值。

$λ = 2, 2 + 2 i, 2 - 2 i$

线性代数 示例

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